สมการพหุนาม (Polynomial Equations)

 1.7   สมการพหุนาม (Polynomial Equations) 

            เราทราบแล้วว่า   สมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง   อาจไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เช่น สมการ   x2 + 1 = 0  ,   x2 +  x  1  =  0   ทฤษฎีบทต่อไปนี้ยืนยันว่าสมการพหุนามจะมีคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ

 

ทฤษฎีบทหลักมูลของพืชคณิต (Fundamental Theorem of Algebra)  

            ถ้า   p(x)   เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าศูนย์แล้ว สมการ p(x) = 0

           จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ

            การพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิตต้องอาศัยความรู้ระดับสูง จึงจะขอไม่กล่าวถึงในที่นี้   อย่างไรก็ตามผลที่ตามมาของทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต คือ ทฤษฎีบทต่อไปนี้

 

ทฤษฎีบท    ถ้า p(x) เป็นพหุนามดีกรี   แล้วสมการ  p(x) = 0

                                   จะมีคำตอบทั้งหมด n คำตอบ (นับคำตอบที่ซ้ำกันด้วย)

พิสูจน์   ให้   เป็นพหุนามดีกรี      

            โดยทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 มีอย่างน้อย 1 คำตอบ สมมุติว่าเป็น c1   นั่นคือ x – c1   เป็นตัวประกอบของ p(x)  ซึ่งทำให้ได้ว่า

               โดยที่ q1 (x)  เป็นพหุนามดีกรี n - 1

            ถ้า      สมการพหุนาม q1(x)  ก็จะมีคำตอบอย่างน้อย 1 คำตอบเช่นกัน  โดยสมมติให้ชื่อว่า c2  ดังนั้น x – c2    ก็จะเป็นตัวประกอบของ q1(x)  ซึ่งทำให้ได้ว่า

              โดยที่ q2 (x) เป็นพหุนามดีกรี n - 2

            เมื่อดำเนินการเช่นนี้ไป n ครั้ง จะได้ว่า

               

            แต่  เป็นพหุนามดีกรี n ซึ่งเท่ากับดีกรีของพหุนาม P(x) จึงได้ว่า r(x) ต้องเป็นค่าคงตัว นั่นคือ r(x) = d เมื่อ     

            ดังนั้น   

            หรือคำตอบทั้งหมดของสมการ   p(x) = 0 คือ    

            ตัวอย่าง   เป็นสมการพหุนามดีกรี 8 จึงต้องมีคำตอบทั้งหมด 8 คำตอบ   โดยมีคำตอบที่แตกต่างกันทั้งหมด 5 คำตอบ คือ 1, 7,  - 6, 2i, 2i โดยที่ 7 เป็นคำตอบซ้ำ 3 คำตอบ และ  - 6 เป็นคำตอบซ้ำ 2 คำตอบ

 

ตัวอย่างที่  1   จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ    
วิธีทำ         

                                       

            ในหนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.4 เล่ม 1 ได้กล่าวถึงทฤษฎีบทตัวประกอบ   และทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ   ซึ่งสามารถนำมาช่วยในการหาคำตอบของสมการพหุนามได้ดังนี้

 

ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor   theorem) 

            กำหนด p(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 จะได้ว่า พหุนาม p(x) มี x - c เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ p(c) = 0

 

ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ  

            กำหนด p(x) เป็นพหุนามในรูป    

            ถ้า     เป็นตัวประกอบของพุหนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็มซึ่ง   และห.ร.ม. ของ m และ k คือ 1 แล้ว m หาร an   ลงตัว และ k หาร a0  ลงตัว

 

ตัวอย่างที่  2    จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ   

วิธีทำ  ให้      

                                  

                            แสดงว่า  x - 1 และ   ต่างก็เป็นตัวประกอบของ p(x)

                            ดังนั้น     

                            จะได้ว่า      

                             ฉะนั้น     หรือ   x = 1 หรือ     
                               
                       ดังนั้น คำตอบทั้งหมดของสมการคือ  

 

ตัวอย่างที่  3  จงหาค่าของ a และ b ที่ทำให้ x +7 เป็นตัวประกอบร่วมของ   และ     

วิธีทำ  ให้    

                      

 ทฤษฎีบท   ถ้าจำนวนเชิงซ้อน z เป็นคำตอบของสมการพหุนาม

                                      

                                 โดยที่สัมประสิทธิ์  เป็นจำนวนจริงแล้วสังยุค   จะเป็นคำตอบของสมการพหุนามนี้ด้วย

 

พิสูจน์  

               ให้จำนวนเชิงซ้อน z เป็นคำตอบของสมการพหุนาม p(x) =0 นั่นคือ p(z) = 0

            ฉะนั้น                     

นั่นคือ 

 

ตัวอย่างที่  4    จงแสดงว่า   เป็นคำตอบของสมการ

                                          และหาคำตอบทั้งหมดของสมการนี้