กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน (Graph and Absolute value of Complex Numbers)

  1.4   กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน (Graph and Absolute value of Complex Numbers)  

           เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนเขียนอยู่ในรูปของคู่อันดับ (a , b) หรือในรูป a + bi โดยที่ a เป็นส่วนจริง และ b เป็นส่วนจินตภาพ   ดังนั้นอาจเขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ใด ๆ ด้วยจุดบนระนาบได้เช่นเดียวกับการแทนคู่อันดับด้วยความสัมพันธ์ใดๆ ด้วยจุดบนระนาบในระบบมุมฉากและเรียกแกนนอนว่า แกนจริง (real axis) เรียกแกนตั้งว่า แกนจินตภาพ (imaginary axis) แลเรียกระนาบที่เกิดจากแกนทั้งสองว่าระนาบเชิงซ้อน (Complex plane) เพื่อความสะดวกจะใช้แกน X แทนแกนจริง และแกน Y แทนแกนจินตภาพ

           จำนวนเชิงซ้อน 3+ 2i แทนได้ด้วยจุด (3, 2) หรือแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีจุด (0, 0) เป็นจุดเริ่มต้น และจุด (3, 2) เป็นจุดสิ้นสุด   ส่วนจำนวนเชิงซ้อนอื่นๆ เช่น  - 3, 2i, 4 - I,  - 2+3i, แทนได้ด้วยจุดและเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนดังรูปที่ 1

รูปที่ 1

บทนิยาม   ค่าสัมบูรณ์ (absolute value หรือ modulus) ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi คือ จำนวนจริง    เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ |a + bi| 

           จากบทนิยาม จะเห็นว่าค่าสัมบูรณ์ของ a + bi คือระยะทางระหว่างจุดกำเนิด (0, 0) กับจุด (a, b) นั่นเอง

 

ตัวอย่างที่  1    ค่าสัมบูรณ์ของ   3 + 2i คือ |3+ 2i|   =      

                                      ค่าสัมบูรณ์ของ    - 3i คือ  | - 3i|   =      

                                      ค่าสัมบูรณ์ของ     - 4 คือ | - 4|   = 

                                      ค่าสัมบูรณ์ของ  

สมบัติของค่าสัมบูรณ์   

  ให้   z, z2  และ z3   เป็นจำนวนเชิงซ้อน   จะได้ว่า

            1.  

           2.   

           3.     

          4.     

          5.      

          6.    


พิสูจน์    ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน   โดยที่ z =a +bi จะได้ว่า

                       1.               = (a+bi)(a=bi)

                                                

                      2.   

                           และ     

                                                   

                                           = |z|

                         ดังนั้น   |z|   =  | - z|

                        ทำนองเดียวกัน      

                                                           =  

                                                           = |z|

           การพิสูจน์ข้อ 3 - 6 จะละไว้เป็นแบบฝึกหัด

           ถ้า  z1  = a + bi    และ   z2 = c + di     เป็นจำนวนเชิงซ้อน แล้ว โดยบทนิยามค่าสัมบูรณ์     หมายถึง ระยะทางระหว่างจุด (0, 0) และจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อน  z1 – z2 ในระนาบเชิงซ้อน

                    z1 – z2  =   (a - c) + (b - d)i

           ฉะนั้น   

           จำนวนทางขาวมือของเครื่องหมายเท่ากับของสมการ คือ ระยะทางระหว่างจุด (a , b) และจุด (c , d) ในระนาบ   ซึ่งแสดงว่า      คือระยะทางระหว่างจุด  z1  และจุด    z2 ในระนาบเชิงซ้อนนั่นเอง

           ตัวอย่างเช่น ถ้า a เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ r เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว   คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนที่มีระยะห่างจาก a น้อยกว่าหรือเท่ากับ r ซึ่งก็คือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ภายในและบนวงกลมที่มี a เป็นจุดศูนย์กลาง ความยาวของรัศมี r หน่วย ดังรูปที่ 2

รูปที่ 2

 

ตัวอย่างที่  2    จงเขียนกราฟแสดงจุด z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องอสมการ    และอสมการ |z - 2| < 2 

วิธีทำ    |z| = |z - 0| คือระยะทางระหว่าง (0, 0) และจุด z ดังนั้นเซตของจุด z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องอสมการ   ก็คือเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบเชิงซ้อน   ซึ่งห่างจากจุด (0, 0) มากกว่าหรือเท่ากับ 3หน่วยนั่นเอง   ซึ่งก็คือเซตของจำนวนเชิงซ้อนหรือจุดที่อยู่บนเส้นรอบวงหรือภายนอกของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0, 0) และมีรัศมียาว 3 หน่วยในทำนองเดียวกัน   |z - 2| คือ ระยะทางระหว่างจุด (2, 0) และจุด z ดังนั้นเซตของจุด z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องอสมการ |z - 2| < 2 ก็คือเซตของจำนวนเชิงซ้อนหรือจุดที่อยู่ภายในวงกลม(ไม่รวมจุดบนเส้นรอบวง) ที่มีจุดศูนย์กลางที่ (2, 0) และรัศมียาว 2 หน่วย เราจึงได้กราฟของจุด z ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องอสมการทั้งสองดังแสกงเป็นส่วนแรเงาในรูปที่ 3

รูปที่ 3

 

 ตัวอย่างที่  3    จงเขียนกราฟจุด z ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องกับสมการ |z+i| = |z - i| 

วิธีทำ   กราฟของเชิงซ้อนในตัวอย่างนี้   คือกราฟของจุดในระนาบที่มีระยะห่างจากจุด i เท่ากับระยะห่างจากจุด  - i ซึ่งก็คือแกนจริง ดังสมการในรูปที่ 4

รูปที่ 4